Question

高分悬赏，概率论问题，跪求大神解答一下，希望有详细过程，在线等

Answer 1

1. 有问题，P=∫（0,1）dx∫（0,1）8xydy
   

   =4∫（0,1）xdx∫（0,1）dy²

   =2∫（0,1）dx²

   =2≠1；

2. 独立时，f(x,y)=fxfy=2y

   
   

追问

　　联合密度函数为f（x，y）=｛····· 漏掉了这个
　　第二题请问怎么做呀？

追答

区域是正方形（0，0）一（1，1）的y=x对角线上方三角形。0<x<1
∫（0，1）dx∫（x，1）8xydy
= ∫（0，1）4xdx[y²]（x，1）
= ∫（0，1）4x（1一x²）dx
=[2x²一x^4]（0，1）
=2一1=1
对头。
fx（x）=∫（x，1）8xydy
=4x[y²]（x，1）
=4x³
fy（y）=∫（0，y）8xydx
=4y[x²]（0，y）
=4y³

fx（x）=4x（1一x²）=4x一4x³
fx（x）fy（y）=16xy³（1一x²）≠8xy
两变量不独立

P（X十丫≤1）是对角线（0，1）一（1，0）以下部分
P（X十丫≤1）
=∫（0,0.5）dx∫（x，1一x)8xydy
= ∫（0,0.5）4xdx[y²] （x，1一x)
= ∫（0,0.5）4x[（1一x）²一x²]dx
= ∫（0,0.5）4x（1一2x）dx
= ∫（0,0.5） （ 4x一8x²）dx
=[2x²一8x³/3] （0,0.5）
=2x1/4一8x1/8÷3
=1/2一1/3
=1/6

2。区域（0，0）一（1，1）正方形，f（x，y）=fx（x）fy（y）=2y

求P（Z1两部分积分

0<z<1:
P（Z<z）
=∫（0,z）dx∫（0，z一x）2ydy
= ∫（0,z）dx[y²] （0，z一x）
= ∫（0,z）（ z一x ）²dx
= ∫（0,z）（ z ² 一2zx 十x²）dx
=[z²x一zx²十x³/3] （0,z）
=z³/3
求导:
fz（z）=z²，0<z<1
1<z<2时，积右上三角形，用1去减。
P（Z<z）
=1一∫（z一1，1）dx∫（z一x，1）2ydy
= 1一∫（z一1，1）dx[y²]（z一x，1）
= 1一∫（z一1，1）[1一（ z一x）²] dx
= 1一∫（z一1，1）[1一z²十2zx一x²] dx
=1一[x一z²x十zx²一x³/3] （z一1，1）
=1一[1一z²十z一1/3一（z一1）十z² （z一1）一z （z一1）² 十 （z一1）³/3 ]
=1一[2/3一z²十z一z十1十z³一z² 一z³十2z²一z 十 z³/3一z²十z一1/3 ]
= 1一[4/3 十 z³/3一z²]
=一1/3一z³/3十z²
fz（z）=一z²十2z
1<z<2
P（z<2）=∫（0，1）z²dz十∫（1，2）（ 一z²十2z ）dz
= [z³/3]（0，1）十[一z³/3十z²]（1，2）
= 1/3十[一7/3十3]
= 1/3十2/3
=1
正确

追问

非常感恩，谢谢你

追答

还有简单做法，沿X十Y=Z正方形内部分积分。0<z<1，从（z，0）到（0，z）积分。
fz（z）=∫（0，z）2ydy=[y²]（0，z）=z²
1<z<2，与正方形交点（z一1，1），（1，z一1）
fz（z）=∫（z一1，1）2ydy
=[y²] （z一1，1）
=1一（z一1）²
=一z²十2z