Question

大神帮忙做下这题啊，求不定积分

Answer 1

分析：

分母只能分解成：1+(cosx+sinx)²，如果能将分子化成：cosx+sinx，就可以顺利积分，但是分子只有一项sinx，因此，需要构造∫cosx/√(2+sin2x) dx

解：

令：

P=∫cosx/√(2+sin2x) dx

Q=∫sinx/√(2+sin2x) dx

∵

P-Q

=∫(cosx-sinx)/√(2+sin2x) dx

=∫d(sinx+cosx)/√(2+sin2x)

=∫d(sinx+cosx)/√[1+(cosx+sinx)²]

=（该积分是基本型，过程略）

=ln|(cosx+sinx)+√[1+(cosx+sinx)²]|+C'

又∵

P+Q

=∫(sinx+cosx)/√(2+sin2x) dx

=∫√2sin(x+π/4) /√(2+sin2x) dx

=∫√2sin(x+π/4) /√[1+2sin²(x+π/4)] dx

=-√2 ∫ d[cos(x+π/4)] / √{1+2[1-cos²(x+π/4)]}

=-√2 ∫ d[cos(x+π/4)] / √[3-2cos²(x+π/4)]

=-arc {[√2cos(x+π/4)] / √3} + C''

显然：

原积分 

= 0.5×[(P+Q)-(P-Q)] 

= (-1/2)arc {[√2cos(x+π/4)] / √3} - (1/2)ln|(cosx+sinx)+√[1+(cosx+sinx)²]| + C

其中，C'，C''和C是常数

加点分吧，计算不易！

追问

虽然早上我已经会了，但还是非常谢谢你，分母有俩相加，但分子只有其中一项，应该用这方法，当时也有这种想法，到没有继续想下去，谢谢了，悬赏已经加了