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大神帮忙做下这题啊,求不定积分
分析:
分母只能分解成:1+(cosx+sinx)²,如果能将分子化成:cosx+sinx,就可以顺利积分,但是分子只有一项sinx,因此,需要构造∫cosx/√(2+sin2x) dx
解:
令:
P=∫cosx/√(2+sin2x) dx
Q=∫sinx/√(2+sin2x) dx
∵
P-Q
=∫(cosx-sinx)/√(2+sin2x) dx
=∫d(sinx+cosx)/√(2+sin2x)
=∫d(sinx+cosx)/√[1+(cosx+sinx)²]
=(该积分是基本型,过程略)
=ln|(cosx+sinx)+√[1+(cosx+sinx)²]|+C'
又∵
P+Q
=∫(sinx+cosx)/√(2+sin2x) dx
=∫√2sin(x+π/4) /√(2+sin2x) dx
=∫√2sin(x+π/4) /√[1+2sin²(x+π/4)] dx
=-√2 ∫ d[cos(x+π/4)] / √{1+2[1-cos²(x+π/4)]}
=-√2 ∫ d[cos(x+π/4)] / √[3-2cos²(x+π/4)]
=-arc {[√2cos(x+π/4)] / √3} + C''
显然:
原积分
= 0.5×[(P+Q)-(P-Q)]
= (-1/2)arc {[√2cos(x+π/4)] / √3} - (1/2)ln|(cosx+sinx)+√[1+(cosx+sinx)²]| + C
其中,C',C''和C是常数
加点分吧,计算不易!
虽然早上我已经会了,但还是非常谢谢你,分母有俩相加,但分子只有其中一项,应该用这方法,当时也有这种想法,到没有继续想下去,谢谢了,悬赏已经加了