Question

30分之1=A分之1-B分之1,A、B是非0自然数,求A+B的最小值

30分之1=A分之1-B分之1,A、B是非0自然数,求A+B的最小值

Answer 1

∵A,B>0,∴030.同理可得B>30.∵1/A+1/B=1/30,∴AB-30A-30B=0,∴(A-30)(B-30)=900.∵A,B是大于30的整数,∴A-30与B-30是900的正约数.而∵900=2²·3²·5²,∴900的正约数个数=(2+1)(2+1)(2+1)=27,∴A-30有27个不同取值,即1/A+1/B=1/30有27组正整数解.其中A=B=60这一组A,B相等,不满足条件.故满足条件的解共26组.列出来是如下这些(交换A,B视为不同的解):(A,B)=(31,930),(32,480),(33,330),(34,255),(35,210),(36,180),(39,130),(40,120),(42,105),(45,90),(48,80),(50,75),(55,66),(66,55),(75,50),(80,48),(90,45),(105,42),(120,40),(130,39),(180,36),(210,35),(255,34),(330,33),(480,32),(930,31).