Question

已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)(a>0且a≠1).

已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)(a>0且a≠1).(1）讨论f(x)的单调性；（2）若不等式｜f(x)｜<2的解集为{x｜-1/2<x<1/2},求a 的值；（3）求f(x)的反函数f^-1(x);(4)若f^-1(1)=1/3,解关于x的不等式f^-1(x)<m(m∈R)

Answer 1

1.f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)(a>0且a≠1).
可以看出此函数定义域为
x+1>0 1-x>0
-1<x<1
f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)
=loga[(1+x)/(1-x)]
=loga[-1+2/(1-x)]
1-x为减函数
2/（1-x）-1为增函数
若a>1
f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)(a>0且a≠1).
为增函数
若0<a<1
f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)(a>0且a≠1).
为减函数
2.｜f(x)｜<2
｜loga[-1+2/(1-x)]｜<2
-2〈loga[-1+2/(1-x)]〈2
若a>1
则-1+2/（1-x）的区间为（a^-2,a^2）
x区间为（1-2/（a^-2+1）,1-2/（a^2+1））
即为(1-2a^2/(a^2+1),1-2/(a^2+1))
解集为{x｜-1/2<x<1/2},
则2a^2/(a^2+1)=3/2
2/(a^2+1)=1/2
则a^2=3
则a=正负根号3

若0<a<1
则-1+2/（1-x）的区间为（a^2,a^-2）
x区间为（1-2/（a^2+1）,1-2/（a^-2+1））
即为(1-2/(a^2+1),1-2a^2/(a^2+1))
解集为{x｜-1/2<x<1/2},
则2a^2/(a^2+1)=1/2
2/(a^2+1)=3/2
则a^2=1/3
则a=正负根号3/3

综上a=正负根号3和正负根号3/3
3.反函数
前面已经计算出
f(x)=loga[-1+2/(1-x)]
即 y=loga[-1+2/(1-x)]
[-1+2/(1-x)]=a^y
2/(1-x)=a^y+1
1-x=2/(a^y+1)
x=1-2/(a^y+1)
反函数为
y=1-2/(a^x+1)
根据值域为（-1，1）
得到定义域为R
4.f^-1(1)=1/3,
则1-2/(a^1+1)=1/3
得到a=2
f^-1(x)=1-2/(2^x+1)<m
-2/(2^x+1)<m-1
1/(2^x+1)>(1-m)/2
2^x+1<2/(1-m)
2^x<(1+m)/(1-m)
x<log2[(1+m)/(1-m)]