Question

求解高数问题

1.f(x)=(x+1)^1/3*(x-2)^2/3,则一阶倒数f'(x)的定义域是多少
2.f(x)=e^(2x+1),则当x趋于3时lim[f(x-1)-f(2)]/(x-3)=
3.设f(x)在负无穷到正无穷上可导，且f(-x)=f(x),则f'(x)的奇偶性是（）
4.函数y=ln(1+x)-x在区间（）单调减少

Answer 1

1.直接套用公式就可以了
f(x)=(x+1)^1/3*(x-2)^2/3
f`(x)=1/3*(x+1)^(-2/3)*(x-2)^(2/3)+
(x+1)^(1/3)*(2/3)*(x-2)^(-1/3)
要函数有意义，只要求在分母上的不等于0，即
x+1不等于 0，x不等于-1
x-2不等于 0, x不等于2
则定义域为（-无穷，-1）（-1，2）（2，无穷）
2.lim[f(x-1)-f(2)]/(x-3)
= （e^[2(x-1)+1]-e^5）/ (x-3)
= (e^(2x-1)-e^5) /(x-3)
有两个方法，比较简单的一个是使用洛必达法则
同时求导
= 2e^(2x-1)/1=2e^5
复杂一点的呢，
利用等价无穷小
= (e^(2x-1)-e^5) /(x-3)
= e^5(e^(2x-6)-1) /(x-3)
= e^5 (2x-6)/(x-3)
=2e^5
3.
由f(-x)=f(x)左右同时求导得
-f`(-x)=f`(x)
可见一阶导数为奇函数
4.
对函数求导
y`=1/(1+x)-1
要单调减少，则
y`<0
1/(1+x)-1<0
1/(1+x)<1
1+x>1
x>0
即可

Answer 2

答案?
1. (-1,2)U(2,+∞)
2. 2e^5,
3.奇
4.(0,+∞)

Answer 3

1.f'(x)=1/3*（（x+1）)^（-2/3）*（x-2）^2/3
+2/3*(x+1)^1/3*(x-2)^（-1/3）
∵f(x)的定义域为R，
又∵f'(x)的定义域为x≠-1，x≠2。
二者取交集
∴f'(x)的定义域是x≠-1，x≠2
2.x趋于3时lim[f(x-1)-f(2)]/(x-3)
这是0/0型、采用洛比塔定理、上下分别求导相比
结果2*e^5
3，设f(x)在负无穷到正无穷上可导，且f(-x)=f(x),则f'(x)的奇偶性是（奇）
4.函数y=ln(1+x)-x在区间（0，+∞）单调减少