Question

麻烦求微分方程满足初始条件的特解

Answer 1

求微分方程 y'+[(2-3x²)/x³]y=1的通解
【题目要求求特解，但没给出初始条件，故只能求通解】
解：先求齐次方程 y'+[(2-3x²)/x³]y=0的通解。
分离变量得 dy/y=[(3x²-2)/x³]dx
取积分得lny=∫[(3x²-2)/x³]dx=3∫(1/x)dx-2∫(1/x³)dx=3lnx+1/x²+lnC;
故齐次方程的通解为：y=e^(3lnx+1/x²+lnC)=Ce^(3lnx+1/x²)
将C换成x的函数u，得 y=ue^(3lnx+1/x²)............①
y'=u'e^(3lnx+1/x²)+[ue^(3lnx+1/x²)](3/x-2/x³)
=u'e^(3lnx+1/x²)+[ue^(3lnx+1/x²)](3x²-2)/x³
将①和②代入原式得：
u'e^(3lnx+1/x²)+[ue^(3lnx+1/x²)](3x²-2)/x³-[(3x²-2)/x³]·ue^(3lnx+1/x²)=1
化简得：u'e^(3lnx+1/x²)=1;
分离变量得：du=e^[-(3lnx+1/x²)]dx
∴u=∫e^[-(3lnx+1/x²)]dx=∫[1/e^(lnx³)·e^(1/x²)]dx=∫[1/x³e^(1/x²)]dx
=∫{[e^(-1/x²)]/x³}dx=(1/2)∫d[e^(-1/x²)]=(1/2)e^(-1/x²)+c
代入①式即得原方程的通解为：
y=[(1/2)e^(-1/x²)+c]e^(3lnx+1/x²)
=e^[(-1/2x²)+lnx³+1/x²]+ce^(3lnx+1/x²)
=e^[(1/2x²)+lnx³]+ce^(lnx³+1/x²).