Question

利用格林公式计算下列曲线积分。谢谢

利用格林公式计算下列曲线积分。谢谢∮Lysin³xdx+xcosydy,其中L为以O（0,0），A（π，π），B（－π,π）为顶点的正向边界。

Answer 1

使用格林公式转换为二重积分后使用奇偶对称性简化计算

Answer 2

设P=x+y,q=-(x-y)
所以q'x=-1,p'y=1
所以原积分=∫∫(q'x-p'y)dxdy=(-2)∫∫dxdy=-2πab
注：因为(-2)∫∫dxdy的积分区域为椭圆内部,所以∫∫dxdy就是椭圆的面积πab