1)过P点做PE垂直于BC,交BC于点E
PE平行于AC(PE垂直于BC,AC垂直于BC),且ACB=90°
那么三角形BPE相似于三角形BAC
设CQ=4X，那么BP=5X
AC=6,BC=8
AB=(6^2+8^2)^0.5=10
PE=BP*sinABC=5x*6/10=3X
BE=(25x^2-9x^2)^0.5=4x
QE=8-8X
tanPQB=PE/QE=3x/(8-8X)=1/2
解出x=4/7
CQ=4*X=16/7
2)CP垂直于AQ,
角ACP+PCB=90=PCB+AQC
角ACP=AQC
所以sinAQC=6/(36+16X^2)^0.5=sinACP
在三角形ACP中，由正玄定理
CP:sinCAP=AP:sinACP
CP=sinACP*AP/sinCAP=(10-5X)*4/5*(36+16X^2)^0.5/6
化简得： CP=4*(2-X)*(9+4X^2)^0.5/3……1式
在三角形CPB中，由余弦定理
CP^2=25X^2+64-64X……2式
将1式平方后等于2式，化简后得到
64x^4-256x^3+175x^2=0
解出x=0（不合题意舍去）
或x=7/8或X=25/8
当x=25/8时，CQ=100/8>8,所以X=25/8舍去
即只有x=7/8
此时CQ=7/2
3)
过P点作PM垂直于BC
设CQ=4X,BP=5x
PM垂直于BC,EF为三角形ABC的中线，所以EF垂直于BC
所以三角形BPM相似于三角形ABC
所以BM=5X*8/10=4X
BF=1/2*BC=4
FM=4-4X
QF=4-4X=FM,
所以F点为QM的中点
在三角形QPM中
EF平行于PM
所以G点必定是QP的中点
如果三角形GEP是等腰三角形，那么有以下几种情况
a）E为顶点，EG,EP为腰，
EG=EP,即3-3x/2=5-5x
解出x=4/7,CQ=4*X=16/7
b）G点为顶点，EG,GP为腰
EG=GP,即3-3x/2=1/2*[(8-8X)^2+9X^2]^0.5
解出x=1（舍去，不合题意），或x=7/16,CQ=4*X=7/4
c）P点为顶点，GP,PE为腰
EP=PG,即5-5x=1/2*[(8-8X)^2+9X^2]^0.5
解出x=2（不合题意，舍去），或x=2/3,
此时CQ=4*X=8/3
25，已知在Rt⊿ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB=10，
P，Q分别是AB，BC边上的动点，CQ/BP=4/5，联结PQ
（1）tan∠PQB=1/2，作PD⊥BC于D，则PD/QD=1/2，QD=2PD，
Rt⊿PBD∽Rt⊿ABC，BD=（4/3）PD，BP=（5/3）PD，
CQ/BP=4/5，CQ=（4/5）BP=（4/5）（5/3）PD=（4/3）PD，
CQ+QD+BD=（4/3+2+4/3）PD=（14/3）PD=BC=8，
PD=12/7，
CQ=（4/3）PD=（4/3）*12/7=16/7。
（2）AQ⊥BQ ，
CQ/BP=4/5，BP=（5/4）CQ，AP=10－（5/4）CQ，
AQ=√（CQ²+36）
接（1），BD/BP=4/5，BD=（4/5）BP=（4/5）（5/4）CQ，BD=CQ
QD=8－2CQ，PD=（3/4）BD=（3/4）CQ
PQ²=PD²+QD²=（9/16）CQ²+（8－2CQ）²=（73/16）CQ²－32CQ+64，
PQ²=（73/16）CQ²－32CQ+64，
AP²=AQ²+PQ²，
[10－（5/4）CQ] ²=CQ²+36+（73/16）CQ²－32CQ+64，
（25/16）CQ²－25CQ=（73/16）CQ²－32CQ，
3CQ=7，
CQ=7/3。
（3）E，F分别是AB，BC的中点，EF与PO交于点G，
①求证G是PQ的中点，
证明
∵CF=BF
接（2），CQ=BD，
∴CF－CQ=BF－BD，
∵QF=CF－CQ，DF=BF－BD
∴QF=DF，
AC∥EF∥PD，
作MQ∥EF交AB于M，则有MQ∥EF ∥PD，
∵QF=DF，平行线截等线段，
∴PG=QG，G是PQ的中点。
②△GEP是等腰△，EG=PG=QG，Q，E，P三点共圆，∠QEP=90°，
Rt⊿BEQ∽Rt⊿QEP∽Rt⊿BDP，
EF=6/2=3，CF=8/2=4，QF=（3/4）EF=9/4
CQ=4－9/4=7/4。
