Question

求齐次方程dy/dx=-(4x+3y)/(x+y)的通解

Answer 1

∵dy/dx＝－（4x＋3y）/（x＋y）＝－（4＋3y/x）/（1＋y/x），
∴可令y/x＝u，则：y＝ux，∴dy/dx＝u＋xdu/dx，
∴u＋xdu/dx＝－（4＋3u）/（1＋u），
∴xdu/dx＝－（5＋4u）/（1＋u），
∴［（1＋u）/（5＋4u）］du＝－（1/x）dx，
∴∫［（1＋u）/（5＋4u）］du＝－∫（1/x）dx，
∴∫［（5＋4u－1）/（5＋4u）］du＝－4∫d（ln｜x｜），
∴∫［1－1/（5＋4u）］du＝－4ln｜x｜＋C，
∴u－（1/4）ln｜5＋4u｜＝－4ln｜x｜＋C，
∴y/x－（1/4）ln｜5＋4y/x｜＝－4ln｜x｜＋C。
∴原微分方程的通解是：y/x－（1/4）ln｜5＋4y/x｜＝－4ln｜x｜＋C。