Question

三道求极限的题，咋么做，谢谢

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Answer 1

利用一个定理,如果a~a',b~b'且limb'/a'≠-1,那么a+b~a'+b'
(1)原式=[ln(1+x)-ln(1-x)]/2x

=[x-(-x)]/2x
=1
(2)当a+b≠0时
原式={[√(1+sinax)-1]-[√(1-arctanbx)-1]}/2x
=1/2*(sinax+arctanbx)/2x
=(ax+bx)/4x
=(a+b)/4
当a+b=0时,
原式=[√(1+sinax)-√(1+arctanax)]/2x
=(sinax-arctanax)/2x[√(1+sinax)+√(1+arctanax)]
=1/4*(sinax-arctanax)/x
=1/4*[acosax-a/(1+a²x²)]
=1/4*(a-a)
=0=(a+b)/4
∴无论哪种情况,原式=(a+b)/4
(3)不妨设a<b,原式=(e^ax-e^bx)/(ax-bx)
在区间[ax,bx]上f(x)=e^x满足拉格朗日中值定理使用条件
∴存在ξ∈[ax,bx],使(e^ax-e^bx)/(ax-bx)=f'(ξ)=e^ξ
当x→0时,ξ→0,∴原式=e^0=1