Question

∫［上+∞，下0］dx／（1+x）（1+x^2）的反常积分，详细过程

Answer 1

用待定系数法分解分式

设1/[(1 + x²)(1 + x)] = (Ax + B)/(1 + x²) + C/(1 + x)

1 = (Ax + B)(1 + x) + C(1 + x²)

1 = (A + C)x² + (A + B)x + (B + C)

则C = - A,B = - A

B + C = 1

- A - A = 1,A = - 1/2,B = C = 1/2

∫(0→∞) 1/[(1 + x²)(1 + x)] dx

= (1/2)∫(0→∞) (- x + 1)/(1 + x²) dx + (1/2)∫ dx/(1 + x)

= (- 1/2)∫(0→∞) x/(1 + x²) dx + (1/2)∫(0→∞) dx/(1 + x²) + (1/2)∫ dx/(1 + x)

= lim(x→∞) ln{√[(1 + x)/x]/[(1 + x^2)/x²]^(1/4)} + π/4

= ln[√(1 + 0)/(1 + 0)] + π/4

= π/4

用法

一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。

求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。

对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。

Answer 2

用待定系数法分解分式
设1/[(1 + x²)(1 + x)] = (Ax + B)/(1 + x²) + C/(1 + x)
1 = (Ax + B)(1 + x) + C(1 + x²)
1 = (A + C)x² + (A + B)x + (B + C)
则C = - A,B = - A
B + C = 1
- A - A = 1,A = - 1/2,B = C = 1/2
∫(0→∞) 1/[(1 + x²)(1 + x)] dx
= (1/2)∫(0→∞) (- x + 1)/(1 + x²) dx + (1/2)∫ dx/(1 + x)
= (- 1/2)∫(0→∞) x/(1 + x²) dx + (1/2)∫(0→∞) dx/(1 + x²) + (1/2)∫ dx/(1 + x)
= (- 1/4)ln(1 + x²) + (1/2)arctan(x) + (1/2)ln(1 + x) |(0→∞)
= lim(x→∞) ln[√(1 + x)/(1 + x²)^(1/4)] + (1/2)(π/2)
= lim(x→∞) ln{√[(1 + x)/x]/[(1 + x^2)/x²]^(1/4)} + π/4
= lim(x→∞) ln[√(1 + 1/x)/(1 + 1/x²)^(1/4)] + π/4
= ln[√(1 + 0)/(1 + 0)] + π/4
= π/4

Answer 3

令x=1/t换元法消去分母1+x

Answer 4

用待定系数法分解分式

设1/[(1 + x²)(1 + x)] = (Ax + B)/(1 + x²) + C/(1 + x)

1 = (Ax + B)(1 + x) + C(1 + x²)

1 = (A + C)x² + (A + B)x + (B + C)

则C = - A,B = - A

B + C = 1

- A - A = 1,A = - 1/2,B = C = 1/2

∫(0→∞) 1/[(1 + x²)(1 + x)] dx

= (1/2)∫(0→∞) (- x + 1)/(1 + x²) dx + (1/2)∫ dx/(1 + x)

= (- 1/2)∫(0→∞) x/(1 + x²) dx + (1/2)∫(0→∞) dx/(1 + x²) + (1/2)∫ dx/(1 + x)

= (- 1/4)ln(1 + x²) + (1/2)arctan(x) + (1/2)ln(1 + x) |(0→∞)

= lim(x→∞) ln[√(1 + x)/(1 + x²)^(1/4)] + (1/2)(π/2)

= lim(x→∞) ln{√[(1 + x)/x]/[(1 + x^2)/x²]^(1/4)} + π/4

= lim(x→∞) ln[√(1 + 1/x)/(1 + 1/x²)^(1/4)] + π/4

= ln[√(1 + 0)/(1 + 0)] + π/4

= π/4

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c