Question

请问这个极限怎么证明？用数学归纳法

Answer 1

当n=1时，x1=√2<2，成立
假设当n=k时，xk<2
则当n=k+1时，x(k+1)=√(2+xk)<√(2+2)=2，成立
所以对任意n，xn<2
因为x(n+1)=√(2+xn)>0，所以0<xn<2，即{xn}有界
又因为x(n+1)/xn=√(2+xn)/xn=√(2/xn^2+1/xn)>√(2/2^2+1/2)=1
所以x(n+1)>xn，即{xn}单调递增
综上所述，{xn}单调有界，即{xn}极限存在
不妨令{xn}的极限为A，则对x(n+1)=√(2+xn)两边求极限
A=√(2+A)
A^2-A-2=0
(A-2)(A+1)=0
A=2或-1（舍去）
所以{xn}的极限为2

Answer 2

解法1：分两步解决：
首先证明f(x)=\sqrt(2+x)在x大于、sqrt2时是增函数
然后用数学归纳法证明f(x)<2成立。
所以极限为2（单调有上限的函数必然极限存在）.