Question

高中数学题，导数21题

Answer 1

• f(x)=ax-a/x-2lnx

  f'(x)=a+a/x²-2/x

  a=2

  f'(x)=2(1+1/x²-1/x)

  f'(2)=2(1+1/4-1/2)=1.5

  f(2)=4-2/2-2ln2=3-ln4

  ∴切线为：y-3+ln4=1.5(x-2)

• 存在极大值极小值 有两个驻点

  a+a/x²-2/x=0 有两解→2e/(e²+1)<a<1

  ax²-2x+a=0 

  x₁=1-√(1-a)<1 x₂=1+√(1-a)>1

  f''(x)=-2a/x³+2/x²=(2x-2a)/x³

  f''(x₁)<0 x₁为极大值点、f''(x₂)>0 x₂为极小值点

  ∴S=ax₁-a/x₁-2lnx₁-ax₂+a/x₂+2lnx₂

  =a(x₁-x₂)+a(x₁-x₂)/x₁x₂+2ln(x₂/x₁)

  (可以得到S(a),求S(a) 在2e/(e²+1)<a<1区间的值域即可，貌似题目有问题？如为S=m+n就要简单得多，可以直接用韦达定理）