Question

一个关于多元函数连续，可微的问题

一个关于多元函数连续，可微的问题由定义可知，
1.二元函数在定义域内的一点连续是从空间四面八方收敛于这点，是不是可以说，只要该二元函数的方向导数在任何方向都存在，就可证明二元函数在这点领域连续？
2.如果方向导数在该点处任何方向都存在并且为一确定的值，是不是可以推出该二元函数在该点处领域内的一阶偏导数连续，继而推出该二元函数可微？

请前辈解惑，勿抄概念

Answer 1

不可以，多元函数可微是一个很强的性质，而方向导数存在是很弱的性质。例如令函数f(x)在y=x^2(x不等于0)处为1，其他处为0，则该函数在原点处任何方向导数为0，但在原点处不连续，故而不可微。

追问

是不是可以这么说，方向导数只是证明二元函数在线性路线下(比如y等于x的情况下趋向于一点)的连续性，而无法证明y等于x2路线下二元函数的连续性？

追答

是的