这个不等式怎么证明?湖南大学那道题
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设f(x)=x^p+(1-x)^p,P>1
则f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导
且f(0)=f(1)=1,f(1/2)=1/2^(p-1)
f'(x)=px^(p-1)-p(1-x)^(p-1)
=p(x^(p-1)-(1-x)^(p-1))
x∈(0,1/2)时,f'(x)<0,f(x)在其上单调递减
x∈(1/2,1)时,f'(x)>0,f(x)在其上单调递增
f'(1/2)=0
得x∈[0,1]时
f(x)的最大值是f(0)或f(1),最小值是f(1/2)
得 1/2^(p-1)≤f(x)≤1
所以 x∈[0,1]时, 1/2^(p-1)≤x^p+(1-x)^p≤1 (p>1)
则f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导
且f(0)=f(1)=1,f(1/2)=1/2^(p-1)
f'(x)=px^(p-1)-p(1-x)^(p-1)
=p(x^(p-1)-(1-x)^(p-1))
x∈(0,1/2)时,f'(x)<0,f(x)在其上单调递减
x∈(1/2,1)时,f'(x)>0,f(x)在其上单调递增
f'(1/2)=0
得x∈[0,1]时
f(x)的最大值是f(0)或f(1),最小值是f(1/2)
得 1/2^(p-1)≤f(x)≤1
所以 x∈[0,1]时, 1/2^(p-1)≤x^p+(1-x)^p≤1 (p>1)
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