Question

线性代数（二次型化为规范型问题）如何解决？

二次型化为规范型，是不是一般都要先化为标准型, 再通过标准型化为规范型呀?还是二次型可以直接化为规范型？

Answer 1

1、是的，一般是先化为标准型；

如果题目不指明用什么变换, 一般情况配方法比较简单；

若题目指明用正交变换, 就只能通过特征值特征向量了；

2、已知标准形后, 平方项的系数的正负个数即正负惯性指数；

配方法得到的标准形, 系数不一定是特征值。

例题中平方项的系数 -2,3,4, 两正一负, 故正负惯性指数分别为2, 1；

所以规范型中平方项的系数为 1,1,-1 (两正一负)。

3、有的二次型可以直接化为规范形，可省去化标准形的过程，比如f(x,y,z)=5x^2+2xy+y^2-4z^2，配方4x^2+(x+y)^2-4z^2。若令u=x,v=x+y,w=z，即x=u,y=u-v,z=w，则f=4u^2+v^2-4w^2，这是标准形。如果令u=2x,v=x+y,w=2z，则直接得规范形f=u^2+v^2-w^2。

扩展资料：

线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。

例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。

含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

参考资料来源：百度百科-线性代数

Answer 2

1. 是的, 一般是先化为标准型
如果题目不指明用什么变换, 一般情况配方法比较简单
若题目指明用正交变换, 就只能通过特征值特征向量了

2. 已知标准形后, 平方项的系数的正负个数即正负惯性指数
配方法得到的标准形, 系数不一定是特征值.
例题中平方项的系数 -2,3,4, 两正一负, 故正负惯性指数分别为2, 1
所以规范型中平方项的系数为 1,1,-1 (两正一负)

Answer 3

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