Question

一道高二数学导数题，求解！谢谢！

Answer 1

(1)设g(x)=(2x-1)ln(2x-1)+1/e,
f(x)=0在(3/5,(e^2+1)/2)上有实根，
<==>曲线y=g(x)与y=mx在(3/5,(e^2+1)/2)上有公共点。①
g'(x)=2ln(2x-1)+2=0，2x-1=1/e,x0=(1+1/e)/2,
3/5<x<x0时g'(x)<0,x0<x<(e^2+1)/2时g'(x)>0,
∴g(x0)=0为最小，
g(3/5)/(3/5)=(5/e-ln5)/3≈0.077，
g[(e^2+1)/2]/[(e^2+1)/2]=2(2e^3+1)/(e^3+e)>2,
∴①<==>0<=m<2(2e^3+1)/(e^3+e),为所求。
(2)f(x)=(2x-1)ln(2x-1)-mx+1/e在[1,3/2]上的最小值是-4+1/e,
设f'(x)=2ln(2x-1)+2-m=0的解为x1，满足2ln(2x-1)+2=m,②
x1∈[1,3/2]时f(x1)=(2x1-1)ln(2x1-1)-mx1+1/e=-4+1/e，
把②代入上式得(2x1-1)ln(2x1-1)-2x1ln(2x1-1)-2x1=-4,
∴ln(2x1-1)=4-2x1,
x1∈[1,3/2]，ln(2x1-1)<=ln2,4-2x1>1,矛盾。
x<x1时f'(x)<0,x>x1时f'(x)>0,
∴x1<1时f(1)=-m+1/e=-4+1/e,m=4,与②矛盾。
x1>3/2时f(3/2)=2ln2-3m/2+1/e=-4+1/e,
2ln2+4=3m/2,m=(4/3)ln2+8/3.，为所求。

Answer 2

f'(x)=2ln(2x-1)-2-m
f'(x)=0得(2x-1)²=e^(m+2)
故1/25<e^(m+2)<(e²)²
-2ln5-2<m<2