Question

(cosx)^(1/x^2)求当x趋向于0时的极限

x→0
原极限=e^lim ln (cosx)^(1/x^2)
考虑lim ln(cosx)^(1/x^2)
=lim ln(1+cosx-1) / x^2
利用等价无穷小：ln(1+x)~x,1-cos~x^2/2
=lim (-x^2/2)/x^2
=-1/2
原极限=e^(-1/2)

这是标准解法 这个地方为什么不能将X=0直接往里面带 一直都不是很清楚什么时候可以直接带进去算什么时候不可以

Answer 1

lim ln(cosx)^(1/x^2)
=lim(ln(cosx)/x²)
=lim(-sinx/cosx)/(2x)
=-lim(sinx/(2xcosx)
=-1/2
不可以直接把x=0代入，因为x是趋向于0而不是等于0，也不允许出现被0除的情况。
严格来说，任何时候都不能把0代入，都是运用极限值来运算。