Question

高中数学证明题 大佬来

高中数学证明题 大佬来设abc分别是三角形三条边长 I是三角形abc的内心 则a•IA+b•IB＋c•IC＝0

三角形外心N 重心G 垂心H三点共线且NG：GH＝1：2

三角形垂心到某一顶点距离为内心到该顶点对边的2倍

麻烦大佬了

Answer 1

(1)延长AI交BD于D,由角平分线定理,
BD:CD=AB:AC=c:b,∴BD:BC=c:(b+c),或BD=ac/(b+c)

又BD:AB=ID:IA=a/(b+c),∴IA:AD=(b+c):(a+b+c),或AI→=(b+c)/(a+b+c)*AD→~~~①
过D分别作AC,AB的平行线,分别交AB,AC於E,F,由相似和角平分线定理,

AE:AB=DF:AB=CD:BC=b:(b+c),或AE→=b/(b+c)*AB→

同理,AF→=c/(b+c)*AC→
∵AD→=AE→+AF→,代入①式中得AI→=(b*AB→+c*AC→)/(a+b+c)
於是aAI→+bAI→+cAI→=b(AI→+IB→)+c(AI→+IC→)
即aIA→+bIB→+cIC→=0→
(2)只要证NH→=3NG→就行了
由於G是△ABC的重心,有GA→+GB→+GC→=0→

即NA→-NG→+NB→-NG→+NC→-NG→=0→
∴3NG→=NA→+NB→+NC→
於是3NG→-NH→=NA→+NB→+NC→-NH→=NA→+NB→+HC→

那麼(3NG→-NH→)·BA→=(NA→+NB→)·BA→+HC→·BA→
=(NA→+NB→)·(NA→-NB→)
=|NA→|²-|NB→|²=0
同理,(3NG→-NH→)·AC→=0
若记3NG→-NH→=n→,则n→同时与三角形的两边AB和AC垂直,仅仅当n→=0→时才可能
∴3NG→-NH→=0→,即NH→=3NG→
(3)题目错误,应该是垂心到顶点的距离等於外心到对边距离的2倍,不是内心.
证明在第2题中就有了.因为已经证得NG:GH=1:2,且三点共线,作NP⊥BC于P,连接AH
显然AH∥NP,於是△AHG∽△PNG

所以AH/NP=HG/NG=2