Question

为什么1加1等于2，不是11？

Answer 1

根据皮亚诺自然数公理：
1. 0属于N。2. 若x属于N，则x有且只有一个后继x'。3. 对任一个x属于N，皆有x'不等于0。4. 对任意x，y属于N，若x不等于y，则x'不等于y'。5. （归纳公理）设M包含于N，若0属于M，且对任意x属于M都有x'属于M，则M=N。根据以上公理：将0的后继记为1，1的后继记为2，即0'=1，1'=2。根据加法的定义：存在唯一的一个二元运算+：NxN→N满足：x+0=x且x+y'=(x+y)'。将y=0代入x+y'=(x+y)'得：x+0'=(x+0)'，
由x+0=x以及0'=1得：x+1=x'
将x=1代入上式得：1+1=1'
又由1'=2得，1+1=2。因此，1+1=2。

皮亚诺公理，也称皮亚诺公式，是数学家皮亚诺（皮阿罗）提出的关于自然数的六条公理系统。根据这六条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。

加法性质：

1+1=2

1 + 1
= 0’ + 1 （根据自然数的公理）
= （0 + 1)’（根据加法定义Ⅱ）
= 1’ （根据加法定义Ⅰ）
= 2 （根据自然数的公理）

结合律

证明对任意的a,下述命题成立：

∀b,c，(a+b)+c=a+(b+c)。

当a=0时，

(0+b)+c=b+c(加法定义Ⅰ)

=0+(b+c)(加法定义Ⅰ)，命题成立。

假设命题对a成立，则对a'：

任给b,c,有(a'+b)+c=(a+b)'+c=((a+b)+c)'=(a+(b+c))'=a'+(b+c),命题也成立。

由公理Ⅴ，命题成立。由此即得结合律a+(b+c)=(a+b)+c。

Answer 2

因为一瓶水加一瓶水，他们能起来就是2。