为什么1加1等于2,不是11?
根据皮亚诺自然数公理:
1. 0属于N。2. 若x属于N,则x有且只有一个后继x'。3. 对任一个x属于N,皆有x'不等于0。4. 对任意x,y属于N,若x不等于y,则x'不等于y'。5. (归纳公理)设M包含于N,若0属于M,且对任意x属于M都有x'属于M,则M=N。根据以上公理:将0的后继记为1,1的后继记为2,即0'=1,1'=2。根据加法的定义:存在唯一的一个二元运算+:NxN→N满足:x+0=x且x+y'=(x+y)'。将y=0代入x+y'=(x+y)'得:x+0'=(x+0)',
由x+0=x以及0'=1得:x+1=x'
将x=1代入上式得:1+1=1'
又由1'=2得,1+1=2。因此,1+1=2。
皮亚诺公理,也称皮亚诺公式,是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的六条公理系统。根据这六条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统。
加法性质:
1+1=2
1 + 1
= 0’ + 1 (根据自然数的公理)
= (0 + 1)’(根据加法定义Ⅱ)
= 1’ (根据加法定义Ⅰ)
= 2 (根据自然数的公理)
结合律
证明对任意的a,下述命题成立:
∀b,c,(a+b)+c=a+(b+c)。
当a=0时,
(0+b)+c=b+c(加法定义Ⅰ)
=0+(b+c)(加法定义Ⅰ),命题成立。
假设命题对a成立,则对a':
任给b,c,有(a'+b)+c=(a+b)'+c=((a+b)+c)'=(a+(b+c))'=a'+(b+c),命题也成立。
由公理Ⅴ,命题成立。由此即得结合律a+(b+c)=(a+b)+c。