Question

用比值判别法判断3^n/n×2^n的敛散性

Answer 1

ρ = lim<n→∞>a<n+1>/a<n>

= lim<n→∞>3^(n+1)n2^n/[3^n(n+1)2^(n+1)]

= lim<n→∞>3n/[2(n+1)] = 3/2 > 1，级数发散。

比值法能说明收敛的话级数就一定是收敛的。

用比较法的话，若是拿一个发散级数来比较，则不能说明什么。

例如n/3^n < 3^n/3^n = 1。

不过n/3^n < 2^n/3^n = (2/3)^n就可以证明收敛。

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

Answer 2

ρ = lim<n→∞>a<n+1>/a<n>
= lim<n→∞>3^(n+1)n2^n/[3^n(n+1)2^(n+1)]
= lim<n→∞>3n/[2(n+1)] = 3/2 > 1, 级数发散。