Question

偶函数f（x）在【-a,a】上连续，证∫（-a,a）f（x）dx=2∫（0,a）f（x）dx

Answer 1

偶函数f（x）在[-a,a]上连续，证明：

证明：∵是偶函数，∴f(-x)=f(x); f(-t)=f(t),于是：

令x=-t，则dx=-dt; x=-a时t=a；x=0时t=0；故：

其中，把t改名为x，故

Answer 2

∫(-a,a)f(x)dx=∫(-a,0)f(x)dx+∫(0,a)f(x)dx 对∫(-a,0)f(x)dx，令x=-t x=-a t=a; x=0 t=0 ; dx=-dt 得：∫(-a,0)f(x)dx=∫(a,0)f(-t)(-dt）=∫(0,a)f(-t)dt=∫(0,a)f(-x)dx 故∫(-a,a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx