Question

求极限问题

求极限问题下面的分母为什么不可以用等价无穷小，求指点

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Answer 1

可以用等价无穷小量替换求解。只是cosx应该用“x→0时，cosx~1-x²/2”而非“cosx~1”即可。
应用广义二项展开式、cosx~1-x²/2、sinx~x，∴分子1+x²/2-√(1+x²)~(x²)²/8、分母(cosx-e^x²)sinx²~(1-x²/2-1-x²/2)x²=(-3/2)(x²)²，
∴原式=lim(x→0)[(x²)²/8]/[(-3/2)(x²)²]=-1/12。
【另外，须关注有限运算的结果而定取前n项的n值。如cosx-e^(-x²/2)，取前两项即n=2不可，得n=3方可得到“等价无穷小量”】供参考。

追问

看懂了，你能不能教一下这个怎么判断出cos不能等于1的，cos直接用等价无穷小代换的话就变成了在加减法中进行了替换

这个又是怎么回事

追答

首先，从“概念”上看，x→0时，cosx=1-(1/2)x²+O(x²)。∴“cosx→1”的方式是“cosx→1-(1/2)x²”。“x→0”是x无限接近0，并非“x=0”；故，cosx用“1”来替换，相当于将“变化”的过程“固化”了，只能用“1-(1/2)x²”或者更高阶量来等价替换，保持其变化着……。
其次，有教科书上说“加减法或者加减运算中不能应用等价无穷小量替换”。其实，这是一个“伪命题”。因为“等价无穷小量”替换的前提条件中并没有“四则运算规则”的限制，况且小学算术中都有“乘法是加法的简便计算方法”之类的叙述。供参考。

追问

懂了，谢谢你

追答

不客气。有问题再交流哈！

Answer 2

等价无穷小代换，只能用于乘除，不能用于加减。

追问

可是下面是相除的啊，将0带进去cos是1

下面是相乘

Answer 3

cosx-e^x²=cosx-1+1-e^x²=x²/2+(-x²)=-x²/2
等价代换都是整体代换，
哪有想当然的减法中部分代换

追答

-x²/2-x²=-3x²/2

追问

整体代换的意思就是括号中既有cos和e的话就要两个同时进行代换，不能将一个当成常数是吗

追答

不是两个同时代换，是一个整体才能代换，本来就是无穷小了

同时代换还要你求极限干嘛？直接1-1=0不就完了…

追问

一个整体才能代换什么意思，这句话没听懂

能不能举个例子

追答

这题就是了，要整体代换cosx-e^x²而不是把其中的cosx单独脱出来代换，不然照你之前的逻辑，既然cosx用1代，那么e^x²岂不是也能直接用1代了？

追问

懂了，谢谢，答的很清晰

追答

而很显然cosx-1与1-e^x²不等价

追问

嗯嗯

你好，我想问一下这题怎么又可以用1直接代，是因为有它没它都等于0吗，所以不算一个整体

追答

a(b-c)/d，a.b-c.d都是一个整体，b或c不是，这么说理解了吧

追问

谢谢啦

Answer 4

形式都不一样，这怎么能换呢……

追问

x＝0，cos等于1，这样不行的吗