练习题的第一个题,求大神来解答一下!大学高数的题!!

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绝影飞天
2018-10-16 · TA获得超过1517个赞
知道小有建树答主
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当n 趋于无穷时,
1+1/2+1/3+……+1/n=lnn+R
R为欧拉常数,约为0.5772.
推理查看百科上有,不知道你能不能看懂
1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数:

ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...

Euler(欧拉)在1734年,利用Newton的成果,首先获得了调和级数有限多项和的值。结果是:

1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)

他的证明是这样的:
根据Newton的幂级数有:

ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是:
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n,就给出:
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加,就得到:
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......
后面那一串和都是收敛的,我们可以定义
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
Euler近似地计算了r的值,约为0.577218。这个数字就是后来称作的欧拉常数。
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