Question

积事件和条件概率的区别是什么？

Answer 1

举个例子，袋里有两个白球，一个黑球，无放回地摸两次，
问（1）两次都摸到白球的概率， （2）已知第一次摸到了白球，第二次也摸到白球的概率

以下用C(n,m)表示从n个元素中取出m个的组合数。并设A=第一次摸到白球， B=第二次摸到白球
（1）就是求事件AB的概率，它等价于，同时摸两个球，摸到的都是白球，所以概率
P(AB)=C(2,2)/C(3,2)=1/3
（2）是求在A已经发生的条件下，B的概率，即P(B|A), 也就是说第一次已经摸掉了一个白球，那么在第二次摸的时候，只有一个黑球，一个白球，于是 P(B|A)=1/2。
我们现在从另外一方面来得到这个结果，显然有P(A)=2/3, 而前面已经得到 P(AB)=1/3
于是 P(AB)/P(A)=(1/3)/(2/3)=1/2 恰好就等于 P(B|A)
综上 (1)是P(AB), (2)是P(AB)/P(A)
它们的区别在哪儿呢？其实把样本空间写出来就知道了
（1） 的样本空间是 {(黑，白），（白，黑），（白，白）} ,也就是说第一摸球的时候，是有可能摸到黑球的，但是（2）由于已经知道了，第一次摸到的一定是白的，所以（黑，白）这种情况不可能发生，因次（2）的样本空间只有 {（白，黑），（白，白）}
因此在随机试验可以分成几个步骤时，如果前面的步骤已经有了确定的结果，那就是条件概率，需要用到 P(AB)/P(A)类似的公式。