Question

“欧式空间中不同基的度量矩阵相互合同”这句话怎么解释？

Answer 1

是的。
原因：假设在基底（a1,a2,a3,...,an)下A是度量矩阵{(ai,aj)}n*n.
在新基底(b1,b2,...bn)下有过渡矩阵(b1,b2...bn)=(a1,a2,...an)Q
内积可看做“乘法”:(bi,bj)=bi^T*bj
那么B={(bi.bj)}n*n=(b1,b2,..bn)^T*(b1,b2...bn)
=Q^T(a1,a2...an)^T*(a1,a2...an)Q=Q^TAQ
由于同时合同于标准正交基下的单位矩阵，故其又是正定的
即欧式空间在不同基底下的度量矩阵是互相合同且对称且正定的
欧式空间其实就是一个具有“乘法”、“可对称”、“正定”三个性质的特殊线性空间。