Question

∫（arcsinx）²dx 的不定积分是多少？

Answer 1

∫ (arcsinx)² dx= x(arcsinx)² + 2√(1 - x²)arcsinx - 2x + C。（C为积分常数）

解答过程如下：

∫ (arcsinx)² dx

= x(arcsinx)² - ∫ x * 2arcsinx * 1/√(1 - x²) dx

= x(arcsinx)² - ∫ (2x)/√(1 - x²) * arcsinx dx

= x(arcsinx)² + ∫ arcsinx * 2/[2√(1 - x²)] d(1 - x²)

= x(arcsinx)² + 2∫ arcsinx d√(1 - x²)

= x(arcsinx)² + 2√(1 - x²)arcsinx - 2∫ √(1 - x²) d(arcsinx)

= x(arcsinx)² + 2√(1 - x²)arcsinx - 2∫ √(1 - x²) * 1/√(1 - x²) dx

= x(arcsinx)² + 2√(1 - x²)arcsinx - 2x + C

扩展资料：

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

Answer 2

∫(arcsinx)² dx
= x(arcsinx)² - ∫x d(arcsinx)²,分部积分法第一次第一步
= ..- ∫x * 2(arcsinx) * 1/√(1-x²) dx,分部积分法第一次第二步
= ..- 2∫(x*arcsinx)/√(1-x²) dx
= ..- 2∫arcsinx d[-√(1-x²)],分部积分法第二次第一步
= ..+2√(1-x²)*arcsinx - 2∫√(1-x²) d(arcsinx),分部积分法第二次第二步
= ..-2∫√(1-x²)/√(1-x²) dx
= ..-2∫ dx
= ..-2x + C
= x(arcsinx)² + 2√(1-x²)*arcsinx - 2x + C

Answer 3

这里只提供解题思路，过程手机打上太过繁琐，
令u＝arcsinx，即sin u＝x
则dx＝cosudu
则原式＝∫u²cosudu
再利用分部积分即可得出结果，别忘记最后把u替换为x即可

Answer 4

可以使用分部积分法

详情如图所示

Answer 5

如图所示，这样

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