Question

这道数学题怎么解?

第20题 求椭圆方程那个

Answer 1

抱歉，向量计算这一部分很模糊，无法再帮你。

Answer 2

（1）e=c/a=√(a²-b²) /a=1/2
a=2√3/3 b
S=πb²=3π
b=√3
a=2
椭圆的方程为x²/4+y²/3=1
（2）设A、B的坐标分别为(2cosα,√3sinα)、(2cosβ,√3sinβ)
则√3sinα/(2cosα-4) =√3sinβ/(2cosβ-4)
sin(α-β)=2(sinα-sinβ)
2sin(α-β)/2 ·cos(α-β)/2 = 4cos(α+β)/2 ·sin(α-β)/2
有【 cos(α-β)/2=2cos(α+β)/2 】0≤|α-β|≤π
OA·OB=4cosαcosβ+3sinαsinβ
=cosαcosβ+3cos(α-β)
=[cos(α+β)/2 cos(α-β)/2 - sin(α+β)/2 sin(α-β)/2][cos(α+β)/2 cos(α-β)/2 + sin(α+β)/2 sin(α-β)/2]+3[2cos²(α-β)/2 - 1]
=[cos²(α+β)/2 cos²(α-β)/2 - sin²(α+β)/2 sin²(α-β)/2]+6cos²(α-β)/2 - 3
={cos²(α+β)/2 cos²(α-β)/2 - [1-cos²(α+β)/2][1-cos²(α-β)/2]}+6cos²(α-β)/2 - 3
=[cos²(α+β)/2 +cos²(α-β)/2 - 1]+6cos²(α-β)/2 - 3
=cos²(α+β)/2+7cos²(α-β)/2- 4
因为cos(α-β)/2=2cos(α+β)/2
所以 OA·OB=1/4 cos²(α-β)/2+7cos²(α-β)/2- 4
=29/4 cos²(α-β)/2 - 4
因为 0≤|(α-β)/2|≤π/2
所以 OA·OB≥ - 4
仅当|α-β|=π时取最小值，这时候直线与x轴重合
仅当|α-β|=0时取最大值，这时候直线与椭圆相切