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3.对2x^2-xy-y^2-x-2y-1=0①求导得
4x-y-xy'-2yy'-1-2y'=0,
4x-y-1=(x+2y+2)y',
所以y'=(4x-y-1)/(x+2y+2),
把x=0代入①，得-y^2-2y-1=0,y=-1.
设曲线①的过它的点(x0,y0)的切线方程为
y-y0=(4x0-y0-1)(x-x0)/(x0+2y0+2),②
则2x0^2-x0y0-y0^2-x0-2y0-1=0,③
切线②过点(0,2),所以2-y0=-x0(4x0-y0-1)/(x0+2y0+2),
去分母得2x0+4y0+4-x0y0-2y0^2-2y0=-4x0^2+x0y0+x0,
整理得4x0^2-2x0y0-2y0^2+x0+2y0+4=0,④
④-③*2，得3x0+6y0+6=0,x0=-2y0-2,⑤
把⑤代入③，化简得y0^2+2y0+1=0,y0=-1,
代入⑤，x0=0.
此时y'不存在，
所以切线方程是x=0.
4x-y-xy'-2yy'-1-2y'=0,
4x-y-1=(x+2y+2)y',
所以y'=(4x-y-1)/(x+2y+2),
把x=0代入①，得-y^2-2y-1=0,y=-1.
设曲线①的过它的点(x0,y0)的切线方程为
y-y0=(4x0-y0-1)(x-x0)/(x0+2y0+2),②
则2x0^2-x0y0-y0^2-x0-2y0-1=0,③
切线②过点(0,2),所以2-y0=-x0(4x0-y0-1)/(x0+2y0+2),
去分母得2x0+4y0+4-x0y0-2y0^2-2y0=-4x0^2+x0y0+x0,
整理得4x0^2-2x0y0-2y0^2+x0+2y0+4=0,④
④-③*2，得3x0+6y0+6=0,x0=-2y0-2,⑤
把⑤代入③，化简得y0^2+2y0+1=0,y0=-1,
代入⑤，x0=0.
此时y'不存在，
所以切线方程是x=0.
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系科仪器
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