Question

高三数学，这题用向量建立直角坐标系怎么解？第2小问

Answer 1

这个题找几个三角形就行

追答

不懂，请继续追问，懂了请采纳

谢谢

Answer 2

你要建系可以,前提是你必须有足够的空间解析几何的知识.
以O为原点建系,设BC=2√2,那麼C(2,0,0),B(0,0,2)
设BC中点为M(1,0,1),不论A在哪个位置,A与M的距离均为√6
设A(x,y,z),利用距离公式得到(x-1)²+y²+(z-1)²=6,但这表示一个球
要表示A点轨迹还要加一个条件,就是MA⊥BC
BC→=(2,0,-2),MA→=(x-1,y,z-1),所以2(x-1)-2(z-1)=0
解得x=z
如果令x=t,那麼y²=6-2(t-1)²≥0,t∈[1-√3,1+√3]
而要让OA最大,只要OA²最大,即x²+y²+z²最大
OA²=2t²+6-2(t-1)²=4(t+1),显然当t=1+√3时OA²最大
此时A(1+√3,0,1+√3),纵坐标为0所以A在xOz平面上,即OABC四点共面
平面α就是xOy平面,要求CD和xOy夹角的正弦,只要求CD和OB夹角的馀弦的绝对值

设D在面ABC上的射影是H,根据正四面体的性质,H是△ABC的中心
所以H(1+√3/3,0,1+√3/3)
DH⊥面xOz,而y轴⊥面xOz,所以DH∥y轴,那麼DH的方向向量就是(0,1,0)
根据空间直线的点向式方程,直线DH:x=1+√3/3,y=k,z=1+√3/3
所以设D(1+√3/3,k,1+√3/3),它到C(2,0,0)的距离为2√2
利用距离公式,8=(1+√3/3-2)²+k²+(1+√3/3)²
解得k=4√3/3,所以CD→=(-1+√3/3,4√3/3,1+√3/3)
|cosθ|=|0+0+2+2/√3|/(2√2*2)=(3√2+√6)/12,选A