0.999999999循环等于1吗
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不等于。
这其实是个数项级数求和，因为0.9循环=9/10+9/100+9/1000+…无限加下去，这是个等比级数，且当公比|q|<1时,这个级数就收敛，也就是有极限，极限值为a1/(1-q)。
所以这个级数当n趋于无穷时就收敛于0.9/（1-0.1）=1，这个时候我们就说这个级数有和，其实说0.9循环=1。只是一个说法而已，确切的说0.9循环无限接近于1，极限值是无限接近而不是等于。
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分数化小数：
（1）分数化为纯循环小数。一个最简分数能化为纯循环小数的充分必要条件是分母的质因数里没有2和5，其循环节的位数等于能被该最简分数的分母整除的最小的99…9形式的数中9的个数。
（2）分数化为混循环小数。一个最简分数能化为混循环小数的充分必要条件是分母既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数。
化成的混循环小数中，不循环的位数等于分母里的因素2或5的指数中较大的一个；循环节的位数，等于能被分母中异于2，5的因子整除的最小的99…9形式的数中，数9的个数。
小数化分数的方法：
1、看是几位小数,就在1后面添几个0做分母；
2、把原来的小数去掉小数点后作分子；
3、能约分的要约分。
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从孤立的数值的本身而言，0.999999999循环，这个数值无限接近1，但由于它与1之间相差一个无限小的差值，使得它永远都不等于1。这个无限小的差值是上帝的刻意，使它永远都不等于1。
从数量的运算结果及其表达形式来看，它是等于1。比如1/3×3=0.999999999循环，这时的0.999999999循环是一个运算结果，不是一个孤立的数值，这个运算结果已经加入了造成不等于1的上帝的刻意（无限小值），这个上帝的刻意已经加在1/3数值之中，进而得到的0.999999999循环也加入上帝的刻意（无限小值），所以此情此景之下的0.999999999循环的表达是等于1。
总结：0.999999999循环不等于1，但运算得出的0.999999999循环（结果）等于1。
从数量的运算结果及其表达形式来看，它是等于1。比如1/3×3=0.999999999循环，这时的0.999999999循环是一个运算结果，不是一个孤立的数值，这个运算结果已经加入了造成不等于1的上帝的刻意（无限小值），这个上帝的刻意已经加在1/3数值之中，进而得到的0.999999999循环也加入上帝的刻意（无限小值），所以此情此景之下的0.999999999循环的表达是等于1。
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01 等于
在数学的完备实数系中，循环小数0.999…表示一个等於1的实数，即0.999…所表示的数与1相同。目前该等式已经有各式各样的证明式；它们各有不同的严谨性、背景假设，且都蕴含实数的实质条件，即阿基米德公理、历史文脉、以及目标受众。
无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。
很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路：思路一：
设 a=0.999...
则 10a=9.999...
于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,
因此 a=1.
思路二：
由于 1/3=0.333...,
所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...
思路三：
0.999...可以看成首项为 0.9, 公比为 0.1 的等比数列
的所有项之和.
根据等比数列的求和公式,
但是，需要强调的是，以上三种思路可以用来直观理解，但不能把它们当成“1=0.999...”的严格证明。原因是，“0.999...”这样的无限小数的严格表示是超出了初等数学的范围的，不能想当然地对“0.999...”这样的无限小数做普通的加减乘除运算，所以上面三种初等思路只能算“投机取巧”的“初等理解”，而不能叫做“严格证明”。
要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明，需要理解从有理数构造实数的办法，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在"无限不循环小数"的直观层面上。
在过去数十年里，许多数学教育的研究人员研究了大众及学生们对该等式的接受程度，许多学生在学习开始时怀疑或拒绝该等式，而后许多学生被老师、教科书和如下章节的算术推论说服接受两者是相等的，尽管如此，许多人们仍常感到怀疑，而提出进一步的辩解，这经常是由于存在不少对数学实数错误的观念等的背后因素，例如认为每一个实数都有唯一的一个小数展开式，以及认为无限小（无穷小）不等于0，并且将0.999…视为一个不定值，即该值只是一直不断无限的微微扩张变大，因此与1的差永远是无限小而不是零，因此「永远都差一点」。我们可以构造出符合这些直观的数系，但是只能在用於初等数学或多数更高等数学中的标准实数系统之外进行，的确，某些设计含有「恰恰小於1」的数，不过，这些数一般与0.999…无关（因为与之相关的理论上和实践上都皆无实质用途），但在数学分析中引起了相当大的关注。
在数学的完备实数系中，循环小数0.999…表示一个等於1的实数，即0.999…所表示的数与1相同。目前该等式已经有各式各样的证明式；它们各有不同的严谨性、背景假设，且都蕴含实数的实质条件，即阿基米德公理、历史文脉、以及目标受众。
无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。
很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路：思路一：
设 a=0.999...
则 10a=9.999...
于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,
因此 a=1.
思路二：
由于 1/3=0.333...,
所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...
思路三：
0.999...可以看成首项为 0.9, 公比为 0.1 的等比数列
的所有项之和.
根据等比数列的求和公式,
但是，需要强调的是，以上三种思路可以用来直观理解，但不能把它们当成“1=0.999...”的严格证明。原因是，“0.999...”这样的无限小数的严格表示是超出了初等数学的范围的，不能想当然地对“0.999...”这样的无限小数做普通的加减乘除运算，所以上面三种初等思路只能算“投机取巧”的“初等理解”，而不能叫做“严格证明”。
要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明，需要理解从有理数构造实数的办法，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在"无限不循环小数"的直观层面上。
在过去数十年里，许多数学教育的研究人员研究了大众及学生们对该等式的接受程度，许多学生在学习开始时怀疑或拒绝该等式，而后许多学生被老师、教科书和如下章节的算术推论说服接受两者是相等的，尽管如此，许多人们仍常感到怀疑，而提出进一步的辩解，这经常是由于存在不少对数学实数错误的观念等的背后因素，例如认为每一个实数都有唯一的一个小数展开式，以及认为无限小（无穷小）不等于0，并且将0.999…视为一个不定值，即该值只是一直不断无限的微微扩张变大，因此与1的差永远是无限小而不是零，因此「永远都差一点」。我们可以构造出符合这些直观的数系，但是只能在用於初等数学或多数更高等数学中的标准实数系统之外进行，的确，某些设计含有「恰恰小於1」的数，不过，这些数一般与0.999…无关（因为与之相关的理论上和实践上都皆无实质用途），但在数学分析中引起了相当大的关注。
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其实是等于的。
论证方法:把0.999的循环看成x,
10x＝9.999的循环＝9＋0.999的循环
10x＝9＋x
9x＝9
x＝1
论证方法:把0.999的循环看成x,
10x＝9.999的循环＝9＋0.999的循环
10x＝9＋x
9x＝9
x＝1
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数学悖论之一，有两种相悖的说法。
第一种：
按照数学无限循环法则，0.999……就是无限接近1，因此0.999……≠1
第二种：
按照变量运算法则和分数运算法则可以证明0.999……=1
1、变量运算法则
设x=0.999……（1）
则10x=9.999……（2）
（2）-（1）：
10x-x=9.999……-0.999……
9x=9
x=1
因为x=0.999……，又x=1
所以0.999……=1（等量代换）
2、分数运算法则
1/3+2/3=1
1/3=0.333……（1）
2/3=0.666……（2）
（1）+（2）：
1/3+2/3=0.333……+0.666……
1/3+2/3=0.999……
所以0.999……=1（等量代换）
第一种：
按照数学无限循环法则，0.999……就是无限接近1，因此0.999……≠1
第二种：
按照变量运算法则和分数运算法则可以证明0.999……=1
1、变量运算法则
设x=0.999……（1）
则10x=9.999……（2）
（2）-（1）：
10x-x=9.999……-0.999……
9x=9
x=1
因为x=0.999……，又x=1
所以0.999……=1（等量代换）
2、分数运算法则
1/3+2/3=1
1/3=0.333……（1）
2/3=0.666……（2）
（1）+（2）：
1/3+2/3=0.333……+0.666……
1/3+2/3=0.999……
所以0.999……=1（等量代换）
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