Question

请问这道基础数学题的解法思路？

Answer 1

1到8八个数字，填入下列8个方框中，使等式成立。
□□□×□=□□□□
记为：ABC×D=EFGH
∵A+B+C+D+E+F+G+H=1+2+3+4+5+6+7+8=36≡0 (mod 3)
∴ABC+D+EFGH≡0 (mod 3)
又∵ABC×D＝EFGH；∴EFGH≡0 (mod 3)；E+F+G+H≡0 (mod 3)；
∴ABC×D≡0 (mod 3)；A+B+C+D≡0 (mod 3)
∴ABC≡0 (mod 3)；A+B+C≡0 (mod 3)；D≡0 (mod 3)
又∵D是个位数，所以D=3或6
ABC×D=EFGH，根据乘法法则：
C*D=10m+H ——(m<C,D)
B*D+m=10n+G ——(n≤B,D)
A*D+n=10E+F ——(E≤A,D)
C不能取1，否则H=D
C、H都不能取5，否则H=C=5或H=0
①如果D=3，A、B、C最大为8，则m<3,则n<3,则E<3，所以E只能取1或2
若E=2，则2456<EFGH<2876，则A=8：
C只能取7，则H取1；再由A+B+C≡0 (mod 3)；ABC只能取867；代入不成立；
所以E=2不成立！
若E=1，则1456<EFGH<1876，则4≤A≤6。
C只能取2，4，6，8；H对应的取6，2，8，4；
D=3，A=4，则C只能取2，6，H对应的取6，8；
由A+B+C≡0 (mod 3)；ABC只能取462(舍去)、426、456，代入不成立；
D=3，A=5，则C只能取2，4，6，8；H对应的取6，2，8，4；
B对应的取8，6，2；代入得：【唯有582×3=1746满足条件】
D=3，A=6，则C只能取4，8；H对应的取2，4；
由A+B+C≡0 (mod 3)；ABC只能取654、684、618、678，代入不成立；
【所以D=3时，唯有582×3=1746满足条件】
②如果D=6，根据H，C只能取3和7；因为n<5
若C=7，则H=2，则EFGH>1342，则：A>1
由A+B+C≡0 (mod 3)；则ABC只能取457、387或517、817、547、837，代入不成立；
若C=3，则H=8，则EFGH>1348，则：A>1
由A+B+C≡0 (mod 3)；则ABC只能取243、453、573或423、543、753，代入可知：
【只有453×6=2718成立。】
★★★所以满足题意的组合为：
582×3=1746或453×6=2718