高中数学请问极坐标第二题怎么做？
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两种做法,一是写出直角坐标方程,设直线AB:y=kx,联立直线和两个圆的方程解出A,B坐标,从而得到kAM和kBM.再利用夹角公式,AM和BM的夹角是45°,代进去求出k就是要求的tanα
另一种就是同样藉助极坐标,但要抓住几何关系,从几何的角度来做会比上面代数的方法快很多
C1:ρ=4cosθ,C2:ρ=4sinθ
联立AB和C1,C2的方程,解得A(4cosα,α)和B(4sinα,α)
由於OM是圆C1的直径,∠OAM=90°,而∠AMB=45°,因此得到等腰直角三角形ABM
所以AB=AM
OB=4sinα,OA=4cosα,所以AB=OA-OB=4(cosα-sinα)=AM
利用勾股定理,OA²+AM²=OM²
把表达式全部代入,得cos²α-2sinαcosα=0
α∈(0,π/4),因此cosα≠0,两边除以cosα,得cosα=2sinα
tanα=sinα/cosα=1/2
另一种就是同样藉助极坐标,但要抓住几何关系,从几何的角度来做会比上面代数的方法快很多
C1:ρ=4cosθ,C2:ρ=4sinθ
联立AB和C1,C2的方程,解得A(4cosα,α)和B(4sinα,α)
由於OM是圆C1的直径,∠OAM=90°,而∠AMB=45°,因此得到等腰直角三角形ABM
所以AB=AM
OB=4sinα,OA=4cosα,所以AB=OA-OB=4(cosα-sinα)=AM
利用勾股定理,OA²+AM²=OM²
把表达式全部代入,得cos²α-2sinαcosα=0
α∈(0,π/4),因此cosα≠0,两边除以cosα,得cosα=2sinα
tanα=sinα/cosα=1/2
更多追问追答
追问
请问是怎么想到通过求边长然后表达式来推tana这个思路的呢？
追答
极坐标的特点就是有边长和角度,所以涉及长度和角度的,用极坐标考虑会比较方便,关键就在於你能不能找到几何关系
极坐标适合解决圆和直线的问题,直线的参数方程适合解决圆锥曲线中涉及弦长的问题,这些都是你做题的时候要总结的规律
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