Question

求根号x除以根号2-x的不定积分，谢谢（请用第二换元积分法）

Answer 1

2x-x^2 = 1- (x-1)^2

let

x-1 = sinu

dx= cosu du

∫√[x/(2-x)] dx

=∫x/√(2x-x^2) dx

=∫ (1+sinu ) du

= u - cosu +C

=arcsin(x-1) - √(2x-x^2) + C

定积分

是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

2x-x^2 = 1- (x-1)^2
let
x-1 = sinu
dx= cosu du
∫√[x/(2-x)] dx
=∫x/√(2x-x^2) dx
=∫ (1+sinu ) du
= u - cosu +C
=arcsin(x-1) - √(2x-x^2) + C