Question

数学物理方程的问题？

Answer 1

可以翻翻教材上二阶线性偏微分方程的化简。

由题知a11=1, a12=1, a22=-3
则特征线dy/dx的值满足为特征方程a11*x^2-2*a12*x+a22=0的解，即
dy/dx=3或dy/dx=-1，即d(3x-y)=0或d(x+y)=0
变量代换：令\xi=3*x-y, \eta=x+y，则通过求导链式法则，泛定方程可以化为：
(\partial^2 u) / (\partial \xi \partial \eta) = 0
因此泛定方程的通解为u(\xi, \eta)=f(\xi)+g(\eta)，其中f，g为任意一阶可导函数。
因此u(x, y)=f(3*x-y)+g(x+y)，带入边界条件可以定出f和g的具体形式。
结果为f(x)=(sin(x/3)-x/3)/2, g(x)=(x+sinx)/2
因此定解问题的解为：
u(x, y)=(sin((3*x-y)/3)-(3*x-y)/3)/2+(x+y+sin(x+y))/2, -\infty<x<+\infty, y>0.