Question

求这题的第二问哇，导数题

Answer 1

参变分离法

经整理得：a<=(e^x-x^2+x-1)/x=g(x)
由于上式恒成立，所以a<=g(x)的最小值
求导得：g'(x)=[(x-1)*e^x-x^2+1]/x^2
令h(x)=(x-1)*e^x-x^2+1，显然h(0)=h(1)=0，但h(x)的单调性不清楚
h'(x)=x(e^x-2)。当x<ln2时h'(x)<0，h(x)单调递减；x>ln2时h'(x)>0，h(x)单调递增
由于h(0)=h(1)=0，所以当0<x<1时h(x)<0即g'(x)<0，当x>1时h(x)>0即g'(x)>0
因此当x>0时g(1)为最小值，g(1)=e-1
因此a<=e-1

追问

你好我有点不知道h(x)求了有什么用

追答

求g(x)的最小值，要求g'(x)=0且g(x)左侧单调递减右侧单调递增，即要求g'(x)=0且左侧g'(x)0
g'(x)的分母是x^2，必定是正数。所以g'(x)的分子部分决定g'(x)是正或负或零
于是把分子部分独立出来，构造成h(x)。一方面减少计算量，另外也确实有效。任意一个区间中，如果h(x)恒大于零则g'(x)在这个区间恒大于零，小于零的情况也是如此。
这里我们发现h(0)=h(1)=0，但哪个区间恒大于零或恒小于零不清楚，所以继续求导，看h'(x)的情况。
思路大致如此