Question

数列裂项求和法例题

Answer 1

你看看这个吧，希望对你有帮助。
裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例1]
【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1)
的前n项和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂项）
则
sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
＝
1-1/(n+1)
＝
n/(n+1)
[例2]
【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1)
的前n项和.
解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）
则
sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）
＝
(n-1)n(n+1)/3
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意：
余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）
附：数列求和的常用方法：
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)
1、分组法求数列的和：如an=2n+3n
2、错位相减法求和：如an=n·2^n
3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和：如an=
n
5、求数列的最大、最小项的方法：
①
an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3
②
(an>0)
如an=
③
an=f(n)
研究函数f(n)的增减性
如an=
an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差数列
中,有关sn
的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当
a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得sm取最大值.
(2)当
a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得sm取最小值.
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
希望能解决您的问题。

Answer 2

/(3n-2)(3n+1)
1/(3n-2)-1/(3n+1)=3/(3n-2)(3n+1)
只要是分式数列求和,可采用裂项法
裂项的方法是用分母中较小因式的倒数减去较大因式的倒数,通分后与原通项公式相比较就可以得到所需要的常数。
裂项求和与倒序相加、错位相减、分组求和等方法一样，是解决一些特殊数列的求和问题的常用方法.这些独具特点的方法,就单个而言,确实精巧,
例子：
求和：1/2+1/6+1/12+1/20
＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)1/(4*5)
＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)
＝1-1/5=4/5