Question

已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)<n/2

Answer 1

（3）首先，右边比较好证明，an/a(n+1)=(2^n－1)/(2^(n+1)－1)<2^n/2^(n＋1)=1/2
这里利用了浓度不等式。【即：a/b<(a+m)/(b+m),其中0
0.这个很容易证明】累加后就可以证到右边了。
另一方面，an/a(n+1)=(2^n－1)/(2^(n+1)－1)>(2^n－1)/2^(n+1)=1/2＋1/2^(n+1)
但是证明左边的时候要先原封不动地写出前三项，即：1/3,
3/7,
7/15.
你做这些题，说明你数学还行，下面你就自己接着做吧。

Answer 2

A(n+1)=2An+1
A(n+1)+1=2An+2=2(An+1)
A1+1=1+1=2
数列{An+1}是以2为首项，2为公比的
等比数列
An+1=2^n
An=2^n-1
n=1时，A1=1也满足上式
An/A(n+1)=(2^n-1)/(2^(n+1)-1)
分式上下同除(2^n-1)
An/A(n+1)=1/(2+1/(2^n-1))
n>=1时，2^n-1>0，1/(2+1/(2^n-1))<1/2
An/A(n+1)<1/2
A1/A2<1/2
A2/A3<1/2
……
A1/A2+A2/A3+……An/A(n+1)<1/2×n
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