Question

lim(1+1/x)^x=e 该极限所得结果的证明过程 谢谢 x→∞

Answer 1

具体回答如下：

im (1+1/x)^x 

=lim e^[ ln ((1+1/x)^x)] 

= e^ lim [ x ln (1+1/x)]

x-->无穷大 1/x--> 0

此时，ln (1+1/x) = 1/x （等价无穷小）

lim [ x ln (1+1/x)] = x * 1/x = 1

原式= e^ 1 = e

极限的性质：

和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

Answer 2

解答：

1、证明数列 (1+1/n)^n 是单增数列（用二项式展开）；

2、证明数列 (1+1/n)^n 有界；

3、记该数列极限为e；

4、求 (1+1/n)^(n+1),(1+1/n)^(n-1) 的极限；

5、将 (1+1/x)^x 用夹逼准则放在上面几个数列极限之间即可。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 3

先一个转化就证明幂上的极限就好了，然后一个等价无穷小把In里的换出来，就证明了。闲着无聊课上刷手机给你证了，应该没错吧。本来不想回答，只是看一楼大哥像是不懂装懂的样子，夹逼定理我试了挺麻烦的，还要展开，我计算不好还不确定对不对。证极限就是转化，多看点题型就好了。

Answer 4

我给你写一下思路吧。这个证明过程很长，不会有人在这里给你答的，你还是自己去看书吧，在同济大学的高等数学教材里面有。
1、证明数列
(1+1/n)^n
是单增数列（用二项式展开）；
2、证明数列
(1+1/n)^n
有界；
3、记该数列极限为e；
4、求
(1+1/n)^(n+1)，(1+1/n)^(n-1)
的极限；
5、将
(1+1/x)^x
用夹逼准则放在上面几个数列极限之间即可。