Question

验证函数f（x）=arctanx在区间[0,1]上满足拉格朗日定理的条件，并求出满足定理条件的ξ值，要详细过程

Answer 1

f(x)在[0,1]内连续，在（0,1）上可导，即满足拉格朗日中值定理：存在一个ξ使得：f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)=(f(1)-f(0))/(1-0)=π/4
f'(ξ)=1/(1+ξ^2)=π/4
∴ξ=（4/π-1）^1/2
希腊字母打得累死了，希望能帮到你！

Answer 2

显然f(x)=arctanx在[0,1]上连续且可导
f'(x)=(arctanx)'=1/(1+x^2)
根据拉格朗日中值定理，存在ξ，0<ξ<1，使得
f'(ξ)=[(f(1)-f(0)]/(1-0)
=arctan1-arctan0
=π/4
1/(1+ξ^2)=π/4
ξ=√[(4-π)/π]=0.523