Question

试确定一切有理数r,使关于x的方程rx²+(r+2)x+3r-2=0有根且只有整数根

Answer 1

(1)r≠0时,
因为方程有整数根,
所以两根之和为整数,两根之积也为整数,
而x1+x2=-(r+2)/r=-1-2/r,x1*x2=(3r-2)/r=3-2/r,
所以-1-2/r,3-2/r都应该是整数,
所以r是2的因数,
而2的因数有±1,±2,
所以r=±1,±2,
当r=1或2时,方程没有实数根,所以不合题意,舍去;
而当r=-1时,方程变为-x^2+x-5=0,方程有实数根,但不是整数,不符合题意,舍去;
当r=-2时,方程变为-2x^2-8=0,
x=±2,符合题意;
(2)当r=0时,方程变为2x-2=0,
x=1是整数,符合题意;
综合以上得r=-2或r=0
我比你先找到

Answer 2

因为x1+x2=-(r+2)/r=-1-2/r,x1*x2=(3r-2)/r=3-2/r,
所以x1*x2-(x1+x2)=4
所以（x1-1）（x2-1）=5
所以x的可取整数为2和6，0和-4
当x1=2时，r1=
-2/9
当x2=6时，r2=-2/9=r1
当x3=0时，r3=2/3
当x4=-4时，r4=2/3=r3
当方程式不是二次函数时，即r=0时，x5=1，且符合题意
所以r的所有的值为-2/9，2/3，0

Answer 3

r=0时，方程化为2x-2=0
解得x=1
符合题意
r≠0时，为二次方程，X1*X2=3-2/r,
若两根均为整数，则乘积也比为整数，即3-2/r为整数
则2/r
为整数，则r只能等于1，2，-1，-2
分别带回原方程判别式即可知，只有r=1时判别式大于0，
把r=1带回原方程不能求的整数解，不符合题意
于是r只能等于0