Question

在Rt三角形ABC中,AB=BC=3,

Answer 1

（1）解：∵s△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC=50$（1分），
设P运动的时间为t秒．
①当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，
此时CQ=t，PB=10-t
∴${s_{△PCQ}}=\frac{1}{2}×t×（10-t）=\frac{1}{2}（10t-{t^2}）=50$（2分）
整理得t2-10t+100=0无解（3分）
②当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，
如图23-2，此时CQ=t，PB=t-10
土图2
∴${s_{△PCQ}}=\frac{1}{2}×t×（t-10）=\frac{1}{2}（{t^2}-10t）=50$（3分）
整理得t2-10t-100=0
解得$t=5±5\sqrt{5}$（舍去负值）（5分）
∴当点P运动（$5+5\sqrt{5}$）秒时，s△PCQ=s△ABC（5分）（得分同上）
（2）解：当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明如下：（（6分），评分细则见后注）
①当t＜10秒时，P在线段AB上，如图23-1，
过Q作QF⊥AC，交直线AC于点F
在Rt△APE和Rt△QCF中
∵∠A=45°，∠QCF=∠ACB=45°
AP=QC=t
∴△APE≌△QCF∴AE=PE=CF=QF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}t$（7分）
∴四边形PEQF是平行四边形，且DE是对角线EF的一半
又∵EF=AC=10$\sqrt{2}$∴DE=5$\sqrt{2}$（8分）
②当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，如图2，
作PE⊥AC，交直线AC于点E，过Q作QF⊥AC，交直线AC于点F．
同理可得DE=5$\sqrt{2}$（10分）
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变