Question

求矩阵A=第一行2 -1 1第二行 0 3 -1 第三行2 1 3 的特征值和特征向量

Answer 1

设矩阵a的特征值为λ
则a-λe=
2-λ
-1
2
5
-3-λ
3
-1
0
-2-λ
令其行列式等于0，即
2-λ
-1
2
5
-3-λ
3
-1
0
-2-λ
第3列加上第1列乘以-2-λ
=
2-λ
-1
λ^2-2
5
-3-λ
-5λ-7
-1
0
0
按第3行展开
=
-1*[5λ+7-(3+λ)(λ^2-2)]
=-(λ+1)^3
=0
所以解得a的三个特征值都是
-1
那么
a-λe=
3
-1
2
5
-2
3
-1
0
-1
第1行加上第3行×3，第2行加上第3行×5
～
0
-1
-1
0
-2
-2
-1
0
-1
第2行减去第1行，第1行乘以-1，第3行乘以-1，交换第1行和第3行
～
1
0
1
0
0
0
0
1
1
交换第2行和第3行，
～
1
0
1
0
1
1
0
0
0
所以得到特征向量为(1，1，-1)^t
故矩阵a的三个特征值都是-1，
其特征向量为(1，1，-1)^t