Question

平面公理3的推理3的证明

Answer 1

公理3的内容是：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。
公理3的推论3是：两条平行的直线确定一个平面。
所有的推论是由相应的公理证明的。
证明：
设两直线l和m互相平行，取l上两个点A和B，取m上两个点C和D，
显然任意三点都不共线，否则l和m将会相交，与两直线平行矛盾，
根据公理3，知道
过A、C、D有且只有一个平面，设为平面α；过B、C、D有且只有一个平面
，设为平面β；
假设两平面α和β不重合，则B在α外，
在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，
所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条，不妨设为AE，
此时，AB和AE都与CD平行，
与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条"矛盾,
所以D也在α内，此时α和β重合，
即α和β是同一个平面，
即两条平行的直线确定一个平面。
谢谢