Question

三角形 ABC中， 角A30度，BC=2倍根号5，D是AB边上的一点，CD＝2，三角形BCD的面积为4.求AC长

Answer 1

S△BCD=BCxCDxsin∠DCB
/2
4=2√5x2xsin∠DCB/2
sin∠DCB=8/（4√5）=2√5/5
cos∠DCB
=±√
【1-
sin²∠DCB】=±√
【1-
（2√5/5）²】=±
√5/5
因在△BDC中：BD²=CD²+BC²-2CBxCDx
cos∠DCB
BD²=2²+（2√5）²-2x2x2√5x（√5/5)=16
或
BD²=2²+（2√5）²-2x2x2√5x（-√5/5)=32
即：BD=4；或BD=4√2。
因在△BDC中又有：CD/sin∠B=BD/sin∠BCD=BC/sin∠CDB
故：
2/sin∠B=4/（2√5/5
）
或
2/sin∠B=4√2/（2√5/5
）
即：sin∠B=√5/5
或sin∠B=√10/10
在△ABC中:：BC/sinA=AC/sinB
即：2√5/sin30°=AC/（√5/5）；或2√5/sin30°=AC/（√10/10）
2√5/（1/2）=AC/（√5/5））；或2√5/（1/2）=AC/（√10/10）
故：AC=4;
或AC=2√2
所以：AC的长为4或2√2。