Question

一阶线性微分方程的通解公式

Answer 1

1、楼主问的问题是涉及积分因子的问题，而求积分因子的目的是在寻求全微分；
2、也就是说，在微分方程的左侧乘以一个积分因子，就使得左侧变成全微分形式。
3、如果在积分中加入积分因子，结果只是等于在积分因子前，乘上了一个e^c的常
数，这个常数对全微分没有丝毫贡献，也没有丝毫影响。所以，通常就省去了。
4、左侧乘上积分因子后，右侧同样乘以积分因子，因为左侧的导函数、原函数都
一次性地解决了，方程的右侧变成了一个单纯的积分问题，不再涉及导函数与原
函数的纠缠。
如有不明白之处，欢迎追问。

Answer 2

先化简成标准式如下：
dy/dx+[-1/(x-2)]*y=2*(x-2)^2
因此有：
P(x)=[-1/(x-2)]
Q(x)=2*(x-2)^2
代入一阶非齐次方程通解：
y=exp[-∫P(x)dx]*[∫exp(∫P(x)dx)Q(x)dx+C]
=exp[-∫[-1/(x-2)]dx]*[∫exp[∫[-1/(x-2)]dx]*2(x-2)^2dx+C]
=exp[ln(x-2)][∫exp[-ln(x-2)]*2(x-2)^2dx+C]
=(x-2)[∫[1/(x-2)]*2(x-2)^2dx+C]
=(x-2)[2∫(x-2)dx+C]
=(x-2)[(x-2)^2+C]
=(x-2)^3+C(x-2)
我想这个已经够详细了吧