Question

设x,y,z∈R+,求证：x+y+z≤(x^2+y^2)/2z+(y^2+z^2)/2x+(z^2+x^2)/2y

Answer 1

证明：用反证法
(x^2+y^2)/2z+(y^2+z^2)/2x+(z^2+x^2)/2y>=(2xy/z)+(2yz/2x)+(2xz/2y)=(xy/z)+(yz/x)+(xz/y)
只要证明x+y+z≤(xy/z)+(yz/x)+(xz/y),假设成立有，同时乘以xyz
有xyz(x+y+z)<=(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2
2(yzx^2+xzy^2+xyz^2)<=2[(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2]
(xy-yz)^2+(xy-xz)^2+(xz-yz)^2>=0恒成立，当且仅当x=y=z
所以假设成立！谢谢采纳！直接证的话从反证法逆着回去就可以证到！