Question

已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)

Answer 1

又f(2+x)=f(2-x)
∴f(x+4)=f[2+(2+x)]=f[2-(2+x)]=f(-x)=f(x)
∴f(x)是周期为4的周期函数
∵当x∈[0,
x∈
[-4，4-x∈[0,2]时,0]时,-2)
或写成f(x)=3-2|x+2|，x+4∈[0，f(x)=2x-1
∴当x∈[2,-2)时,4]时,2)
f(x)=f(x+4)=2(x+4)-1=
2x+7
∴函数在[-4,
x∈[-4,2]
∴f(x)=f(4-x)=2(4-x)-1=-2x+7
∴当x∈[-2,0]
{2x+7，x+4∈[2,4]
f(x)=f(x+4)=-2(x+4)+7=-2x-1
当x∈[-4,
x∈[-2,0]上的解析式为分段函数
f(x)
={
-2x-1∵f(2+x)=f(2-x)
∴函数y=f(x)的图像关于x=2对称
(1)函数y=f(x)定义在实数集r上
如果方程f(x)=0有三个根，x=0是方程的一个根
∴与x=0关于x=2对称的x=4也是方程的一个根
第三个根只有x=2（若换成其他根因对称性还会有第四个）
∴方程的另外两个根是x=2,x=4
2
如果函数y=f(x)满足f(-x)=f(x)

Answer 2

（1）函数关于x=2轴对称
所以其中两个根为x=0
x=4
由于轴对称的性质可知第三个根必在对称轴上
为x=2
（2）f(2+x)=f(2-x)推出f(x)=f(4-x)
所以x属于[2,4]
f(x)=2(4-x)-1=7-2x
所以解析式为：
x属于[-2,0]
f(x)=-2x-1
x属于[-4,-2]
f(x)=7+2x